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2009年高考全國百所名校數學壓軸題精選

AAA. 【青島市2009年高三教學統一質量檢測（理）22．】（本小題滿分14分）已知等比數列的前項和為

（Ⅰ）求數列的通項公式；

（Ⅱ）設數列滿足，為數列 的前項和，試比較 與 的大小，并證明你的結論．

【解析】：（Ⅰ）由得:時，

………………………2分

是等比數列，，得 ……4分

（Ⅱ）由和得……………………6分

……10分

………………………11分

當或時有，所以當時有

那么同理可得：當時有，所以當時有………………………13分

綜上：當時有；當時有………………………14分

.【皖東十校09屆第一次聯考試卷數學（理）22】已知橢圓的離心率為，直線:與以原點為圓心、以橢圓的短半軸長為半徑的圓相切.

   （I）求橢圓的方程；

   （II）設橢圓的左焦點為，右焦點，直線過點且垂直于橢圓的長軸，動直線垂直于點，線段垂直平分線交于點，求點的軌跡的方程；

   （III）設與軸交于點，不同的兩點在上，且滿足求的取值范圍.

【解析】：（Ⅰ）∵  

∵直線相切，

∴   ∴    …………3分

∵橢圓C₁的方程是     ………………6分

（Ⅱ）∵MP=MF₂，

∴動點M到定直線的距離等于它到定點F₁（1，0）的距離，

∴動點M的軌跡是C為l₁準線，F₂為焦點的拋物線  ………………6分

∴點M的軌跡C₂的方程為    …………9分

（Ⅲ）Q（0，0），設 

∴ 

∵

∴

∵，化簡得

∴    ………………11分

∴

當且僅當 時等號成立   …………13分

∵

∴當的取值范圍是……14分

2.【江蘇省姜堰中學高三數學階段調研試卷】（本小題滿分16分）函數其中為常數，且函數和的圖像在其與坐標軸的交點處的切線互相平行

（1）、求函數的解析式

（2）、若關于的不等式恒成立，求實數的取值范圍。

【解析】：（1）             ------2

的圖像與坐標軸的交點為，的圖像與坐標軸的交點為

由題意得即，          ------3

又                         

                             ------4

（2）由題意

當時，-------6

令

                     ------7

令  ------9

當時，

單調遞增。                  

                             ------10

由在上恒成立，     

得                               ------12

當時，   ------13

可得

單調遞增。------14

由在上恒成立，得   ------15

綜上，可知                                ------16
3.【湖南省長沙一中2008-2009學年高三第八次月考數學（文科）21．】（本小題滿分13分）如圖，在矩形ABCD中，已知A（2，0）、C（－2，2），點P在BC邊上移動，線段OP的垂直平分線交y軸于點E，點M滿足

（Ⅰ）求點M的軌跡方程；

（Ⅱ）已知點F（0，），過點F的直線l交點M的軌跡于Q、R兩點，且求實數的取值范圍.

【解析】：（I）依題意，設P（t,2）（－2≤t≤2），M（x，y）.

當t=0時，點M與點E重合，則M=（0，1）；                                        

當t≠0時，線段OP的垂直平分線方程為：

  顯然，點（0，1）適合上式 .故點M的軌跡方程為x²=－4(y－1)( －2≤x≤2)  

（II）設得x²+4k－2=0.

  設Q（x₁,y₁）、R（x₂,y₂），則                

,.消去x₂，得.

解得

4. 【湖北省2009屆高三八校聯考第二次（理）21.】（本小題滿分14分）已知數列中，，，其前項和滿足.令.

（Ⅰ）求數列的通項公式；

（Ⅱ）若，求證：（）；

（Ⅲ）令（），求同時滿足下列兩個條件的所有的值：①對于任意正整數，都有；②對于任意的，均存在，使得時，.

【解】（Ⅰ）由題意知即……1′

∴

……2′

檢驗知、時，結論也成立，故.…………3′

（Ⅱ）由于

故

.…………6′

（Ⅲ）（?）當時，由（Ⅱ）知：，即條件①滿足；又，

∴.

取等于不超過的最大整數，則當時，.…9′

（?）當時，∵，，∴，∴.

∴.

由（?）知存在，當時，，

故存在，當時，，不滿足條件. …12′

（?）當時，∵，，∴，∴.

∴.

取，若存在，當時，，則.

∴矛盾. 故不存在，當時，.不滿足條件.

綜上所述：只有時滿足條件，故.…………14′

5.【河南省普通高中2009年高中畢業班教學質量調研考試（文）22.】（本小題滿分12分）